As equações de Lippmann–Schwinger (em homenagem a Bernard Lippmann e Julian Schwinger^[1]) é uma das equações mais utilizadas para descrever colisões de partículas – ou, mais precisamente, de espalhamento – na mecânica quântica. Pode ser usado para estudar o espalhamento das moléculas, átomos, nêutrons, fótons ou quaisquer outras partículas e é importante principalmente para o estudo de física óptica, atômica e molecular, física nuclear e física de partículas, mas também para os problemas de espalhamento em geofísica. Ela refere-se a função de onda espalhada com a interação que produz o espalhamento (potencial espalhador) e, por conseguinte, permite o cálculo dos parâmetros experimentais relevantes (amplitude de espalhamento e a sessão de choque).

A equação mais fundamental para descrever qualquer fenômeno quântico, incluindo o espalhamento, é a equação de Schrödinger. Em problemas físicos esta equação diferencial deve ser resolvida com a entrada de um conjunto adicional de condições iniciais e/ou condições de contorno para o sistema físico estudado. A equação de Lippmann-Schwinger é equivalente à equação Schrödinger mais as condições de contorno para problemas típicos de espalhamento. A fim de incorporar as condições de contorno, a equação Lippmann-Schwinger deve ser escrita como uma equação integral.^[2] Para problemas de espalhamento, a equação de Lippmann-Schwinger muitas vezes é mais conveniente do que a equação de Schrödinger.

A equação de Lippmann-Schwinger é, de forma geral, (na verdade são duas equações mostrados abaixo, uma para ${\displaystyle +\,}$ e outra para ${\displaystyle -\,}$):

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS, E OUTROS.  

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Nas equações acima, ${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle \,}$ é a função de onda de todo o sistema (os dois sistemas considerados como um todo colidem) em um tempo infinito antes da interação; e ${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle \,}$, em um tempo infinito após a interação (a "função de onda espalhada"). O potencial de energia ${\displaystyle V\,}$ descreve a interação entre os dois sistemas em colisão. O Hamiltoniano ${\displaystyle H_{0}\,}$descreve a situação em que os dois sistemas estão infinitamente distantes e não interagem. As suas autofunções são ${\displaystyle |\phi \rangle \,}$ e seus autovalores são as energias ${\displaystyle E\,}$. Finalmente, ${\displaystyle i\epsilon \,}$é uma questão técnica matemática utilizada para o cálculo das integrais necessárias para resolver a equação e não tem nenhum significado físico.

a equação de Schrödinger é transformada em uma equação integral. Os estados "in" (+) e "out" (−) são assumidos para formar bases, no passado distante e num futuro distante tendo, respectivamente, a aparência de estados de partículas livres, mas sendo autofunções do Hamiltoniano completo. Assim, adotando-se índices, a equação pode ser escrita como:

${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle }$.

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TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS, E OUTROS.  

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• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

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• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
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Criação de pacotes de onda[editar | editar código-fonte]

A representação intuitiva não é muito correta, porque ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ é uma autofunção do Hamiltoniano e assim em momentos diferentes apenas difere de uma fase. Assim, em particular, o estado físico não evolui e por isso não pode se tornar não-interagente. Este problema é facilmente contornado pelo conjunto ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ e ${\displaystyle \phi }$ em pacotes de ondas com uma distribuição ${\displaystyle g(E)}$ de energias ${\displaystyle E}$ sobre uma escala característica ${\displaystyle \Delta E}$. O princípio da incerteza agora permite que as interações dos estados assintóticos ocorram ao longo de uma escala de tempo ${\displaystyle \hbar /\Delta E}$ de forma que não seja concebível que as interações possam ser desligadas fora deste intervalo. O seguinte argumento sugere que este é realmente o caso.

Plugging the Lippmann–Schwinger equations into the definitions

${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS, E OUTROS.  

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• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

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  x

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• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

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e

${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$

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TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS, E OUTROS.  

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

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  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
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  sistema de dez dimensões de Graceli + 

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• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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dos pacotes de onda vemos que, num dado momento, a diferença entre o ${\displaystyle \psi _{g}(t)}$ e ${\displaystyle \phi _{g}(t)}$ são dados por pacotes de ondas integrados sobre a energia E.

Condição de contorno[editar | editar código-fonte]

Esta integral pode ser calculada através da definição da função de onda ao longo do plano complexoE e fechando o contorno de E usando um semi-círculo em que as funções de onda desaparecem. A integral sobre o contorno fechado pode então ser calculada, usando o teorema de Cauchy, como uma soma dos resíduos nos vários pólos. Vamos agora argumentam que os resíduos de ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ aproximam-se de ${\displaystyle \phi }$ no tempo ${\displaystyle t\rightarrow \mp \infty }$ e assim os pacotes de onda correspondentes são iguais no tempo infinito.

Na verdade, para tempos positivos t o fator ${\displaystyle e^{-iEt}}$ dos estados da representação de Schrödinger obriga fechar o contorno no semi-plano inferior. O pólo em ${\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}$ para a equação de Lippmann–Schwinger reflete o tempo de incerteza da interação, enquanto que os pacotes de onda refletem a duração da interação. Ambas as variedades de pólos ocorrem em energias imaginárias finitas que são suprimidas para tempos muito grandes. O pólo da diferença de energia no denominador está no semi-plano superior no caso de ${\displaystyle \psi ^{-}}$, e assim não se encontra dentro do contorno da integral e não contribui para a ${\displaystyle \psi ^{-}}$ integrante. O restante é igual ao pacote de ondas ${\displaystyle \phi }$. Assim, para tempos muito grande ${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$, identificando ${\displaystyle \psi ^{-}}$ como o estado assintótico não-interagente out.

De maneira similar pode-se integrar o pacote de ondas correspondente a ${\displaystyle \psi ^{+}}$ para tempos negativos. Neste caso, o contorno tem de ser fechado sobre o semi-plano superior, o que ocasiona uma perda de energia no pólo de ${\displaystyle \psi ^{+}}$, pertencente ao semi-plano inferior. Em seguida, verifica-se que os pacotes de ondas ${\displaystyle \psi ^{+}}$ e ${\displaystyle \phi }$ são iguais no passado assintótico, identificando ${\displaystyle \psi ^{+}}$ como não-interagente para o estado in.

O denominador complexo das equações de Lippmann–Schwinger[editar | editar código-fonte]

A identificação de ${\displaystyle \psi }$ como sendo estados assintóticos é a justificativa para o the ${\displaystyle \pm \epsilon }$ no denominador das equações de Lippmann–Schwinger.

Fórmula para a matriz S[editar | editar código-fonte]

A matriz S é definida como sendo o produto interno

${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$

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TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS, E OUTROS.  

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  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

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  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
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entre os estados assintóticos a b na representação de Heisenberg. Pode-se obter a formula que relaciona a matriz S para o potencial V utilizando como estratégia o contorno acima, mas desta vez as funções de comutação serão ${\displaystyle \psi ^{+}}$ e ${\displaystyle \psi ^{-}}$. Como resultado, o contorno agora engloba o pólo de energia. Isso pode estar relacionado com ${\displaystyle \phi }$ se para uma dada matriz S temos duas ${\displaystyle \psi }$ distintas. Identificando os coeficientes das funções ${\displaystyle \phi }$ de em ambos os lados da equação se encontra a fórmula de S relativa ao potencial

${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}$

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TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS, E OUTROS.  

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• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

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Na aproximação de Born, que corresponde a teoria de perturbação de primeira ordem, há uma substituição desta última ${\displaystyle \psi ^{+}}$ com a de sua autofunção correspondente ${\displaystyle \phi }$ para o hamiltoniano livre H₀, produzindo

${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$

que expressa a matriz S inteiramente em termos de V e das autofunções do hamiltoniano livre.

Estas fórmulas podem ser utilizadas para calcular a taxa de reação do processo ${\displaystyle b\rightarrow a}$, que é igual a 

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  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

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